Question

△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥．
（Ⅰ）求銳角B的大�。�
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥，
∴2sinB（2cos²-1）=-cos2B，
∴2sinBcosB=-cos2B，即sin2B=-cos2B，
∴tan2B=-，
又B為銳角，∴2B∈（0，π），
∴2B=，
則B=；
（Ⅱ）∵B=，b=2，
∴由余弦定理cosB=得：a²+c²-ac-4=0，
又a²+c²≥2ac，代入上式得：ac≤4（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴S_△ABC=acsinB=ac≤（當且僅當a=c=2時等號成立），
則S_△ABC的最大值為．
分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標及兩向量平行，利用平面向量平行時滿足的條件列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由B的度數(shù)求出sinB及cosB的值，進而由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式化簡求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦定理，基本不等式的運用，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．