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已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減.

證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數.

(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.

令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()

∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0

∴x2－x1<1－x2x1, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

∴0<<1,由題意知f()<0，

即f(x2)<f(x1).

∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上為減函數.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)在(-1，1)上有意義，f(
1
2
)=-1，且對任意的x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
（1）若數列{xn}滿足x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(n∈N*)，求f(xn)．
（2）求1+f(
1
5
)+f(
1
11
)…+f(
1
n2+3n+1
)+f(
1
n+2
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)在x=x0處可導，且f′(x0)=A,則等于…（    ）

A.-             B.-2A                     C.2A               D.A

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=在［1,+∞)上為減函數，則a的取值范圍是（    ）

A.0＜a＜                     B.0＜a≤e

C.a≤e                            D.a≥e

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科目：高中數學 來源：2010-2011年江蘇省高二下學期期中考試理數 題型：填空題

已知函數f(x) 在R上滿足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，則f’(1)=            .

 

 

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