Question

13．若f（x），g（x）為定義域為R，f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$，則f（x）=-$\frac{x}{（{x}^{2}+x+1）（{x}^{2}-x+1）}$．

Answer 1

分析 題目給出了相同定義域上的兩個函數(shù)，且給出了兩函數(shù)解析式的和，可借助于f（x）和g（x）的奇偶性，得到關(guān)于f（x）和g（x）的另一方程，聯(lián)立方程組求解即可，

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），且g（-x）=g（x）
由f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$     ①
得f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，
即-f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$ ②
聯(lián)立①②解得：f（x）=-$\frac{x}{（{x}^{2}+x+1）（{x}^{2}-x+1）}$．
故答案為：-$\frac{x}{（{x}^{2}+x+1）（{x}^{2}-x+1）}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了方程思想，解答此題的關(guān)鍵是借助于函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于f（x）和g（x）的另外一個方程，是求函數(shù)解析式的一種方法．