Question

（本題滿分13分）已知橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知，是否存在使得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（不同于點(diǎn)）在橢圓上？若存在求出此時(shí)直線的方程，若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）不存在滿足條件.

【解析】

試題分析：（1）由2c=，得 ；又點(diǎn)在橢圓上，.解方程組求出，即可得橢圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，直線，可求出點(diǎn)，檢驗(yàn)知，不在橢圓上；當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線，即代入整理得，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706214189025387/SYS201503170622158446454842_DA/SYS201503170622158446454842_DA.017.png">，所以若關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則其中點(diǎn)在直線上.所以，解得因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在直線上，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意所以不存在滿足條件.

試題解析：（1）由已知，焦距為2c= 1分

又 2分

點(diǎn)在橢圓上， 3分

故，所求橢圓的方程為 5分

（2）當(dāng)時(shí)，直線，點(diǎn)不在橢圓上； 7分

當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線，即 8分

代入整理得

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031706214189025387/SYS201503170622158446454842_DA/SYS201503170622158446454842_DA.017.png">，所以

若關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則其中點(diǎn)在直線上 10分

所以，解得因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在直線上， 12分

所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意所以不存在滿足條件. 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.