【題目】已知曲線,過點作直線和曲線交于、兩點.
(1)求曲線的焦點到它的漸近線之間的距離;
(2)若,點在第一象限,軸,垂足為,連結,求直線傾斜角的取值范圍;
(3)過點作另一條直線,和曲線交于、兩點,問是否存在實數(shù),使得和同時成立?如果存在,求出滿足條件的實數(shù)的取值集合,如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)(3)存在,實數(shù)的取值集合為
【解析】
(1)求出曲線的焦點和漸近線方程,利用點到直線的距離公式求求解即可;
(2)設,,表示出直線的斜率,根據(jù)的范圍,求出其范圍,進而得到傾斜角的取值范圍;
(3)直接求出當直線,直線和當直線,直線時,的值,當時,與雙曲線聯(lián)立可得,利用弦長公式求出和,利用列方程求出的值,驗證判別式成立即可得出結果.
(1)曲線的焦點為,漸近線方程,
由對稱性,不妨計算到直線的距離,.
(2)設,,從而
又因為點在第一象限,所以,
從而,
所以直線傾斜角的取值范圍是;
(3)當直線,直線
,
當直線,直線時,
不妨設,與雙曲線聯(lián)立可得,
由弦長公式,
將替換成,可得
由,可得,
解得,此時成立.
因此滿足條件的集合為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們在求高次方程或超越方程的近似解時常用二分法求解,在實際生活中還有三分法.比如借助天平鑒別假幣.有三枚形狀大小完全相同的硬幣,其中有一假幣(質(zhì)量較輕),把兩枚硬幣放在天平的兩端,若天平平衡,則剩余一枚為假幣,若天平不平衡,較輕的一端放的硬幣為假幣.現(xiàn)有 27 枚這樣的硬幣,其中有一枚是假幣(質(zhì)量較輕),如果只有一臺天平,則一定能找到這枚假幣所需要使用天平的最少次數(shù)為( )
A.2B.3C.4D.5
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為推進“千村百鎮(zhèn)計劃”,年月某新能源公司開展“電動莆田 綠色出行”活動,首批投放臺型新能源車到莆田多個村鎮(zhèn),供當?shù)卮迕衩赓M試用三個月.試用到期后,為了解男女試用者對型新能源車性能的評價情況,該公司要求每位試用者填寫一份性能綜合評分表(滿分為分).最后該公司共收回份評分表,現(xiàn)從中隨機抽取份(其中男、女的評分表各份)作為樣本,經(jīng)統(tǒng)計得到如下莖葉圖:
(1)求個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)已知個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),記與的最大值為.該公司規(guī)定樣本中試用者的“認定類型”:評分不小于的為“滿意型”,評分小于的為“需改進型”.
①請根據(jù)個樣本數(shù)據(jù),完成下面列聯(lián)表:
根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認為“認定類型”與性別有關?
②為做好車輛改進工作,公司先從樣本“需改進型”的試用者按性別用分層抽樣的方法,從中抽取8人進行回訪,根據(jù)回訪意見改進車輛后,再從這8人中隨機抽取3人進行二次試用,記這3人中男性人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如題所示:扇形ABC是一塊半徑為2千米,圓心角為60°的風景區(qū),P點在弧BC上,現(xiàn)欲在風景區(qū)中規(guī)劃三條三條商業(yè)街道PQ、QR、RP,要求街道PQ與AB垂直,街道PR與AC垂直,直線PQ表示第三條街道。
(1)如果P位于弧BC的中點,求三條街道的總長度;
(2)由于環(huán)境的原因,三條街道PQ、PR、QR每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每千米300萬元、200萬元及400萬元,問:這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高為多少?(精確到1萬元)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓,離心率,短軸,拋物線頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點為,
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)設坐標原點為,為拋物線上第一象限內(nèi)的點,為橢圓是一點,且有,當線段的中點在軸上時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中,底面是邊長為的正三角形,點在底面上的射影恰是的中點,側棱和底面成角.
(1)若為側棱上一點,當為何值時,;
(2)求二面角的余弦值大。
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