Question

在數列|a_n|中，若a₁·a₂是正整數，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3,4,5,…，則稱|a_n|為“絕對差數列”.

(Ⅰ)舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”(只要求寫出前十項);

(Ⅱ)若“絕對差數列”|a_n|中，a₂₀=3，a₂₁=0，數列|b_n|滿足b_n=a_n+a_n·1+a_n·2，n=1,2,3,….分別判斷當n→∞時，a_n與b_n的極限是否存在.如果存在，求出其極限值；

(Ⅲ)證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項.

Answer 1

(1)解：a₁=3,a₂=1,a₃=2,a₄=1,a₅=1,a₆=0,a₇=1,a₈=1,a₉=0,a₁₀=1.(答案不唯一)

(2)解：因為在絕對差數列{a_n}中，a₂₀=3,a₂₁=0，所以自第20項開始，該數列是a₂₀=3,a₂₁=0,a₂₂=3,a₂₃=3,a₂₄=0,a₂₅=3，a₂₆=3,a₂₇=0,….

    即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值3，0，3.所以當n→∞時，a_n的極限不存在.

    當n≥20時，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，

    所以b_n=6.

(3)證明：根據定義，數列{a_n}必在有限項后出現(xiàn)零項，證明如下：

假設{a_n}中沒有零項，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以對于任意的n，都有a_n≥1，從而

    當a_n-1＞a_n-2時，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1(n≥3)；

    當a_n-1＜a_n-2時，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1(n≥3).

    即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1.

    令c_n=n=1,2,3,…,

    則0＜c_n≤c_n-1-1(n=2,3,4,…).

    由于c₁是確定的正整數，這樣減少下去，必然存在某項c₁＜0，這與c_n＞0(n=1,2,3,…)矛盾.從而{a_n}必有零項.

    若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記a_n-1=A(A≠0)，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，即

    所以絕對差數列{a_n}中有無窮多個為零的項.