已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過(guò)點(diǎn)(1,
2
2
)
,e=
2
2
,P(x0,y0)是橢圓上任一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),△PAB橢圓C的內(nèi)接三角形,且O是△PAB的重心.
(1)求a、b的值,并證明AB所在的直線方程為x0x+2y0y+1=0;
(2)探索△PAB的面積是否為定值,若是,求出該定值;若不是,求出它的最大值.
分析:(1)由橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過(guò)點(diǎn)(1,
2
2
)
e=
2
2
,能求出a、b的值.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,A(x1,y1),B(x2,y2),由O是△PAB的重心,能證明直線AB的方程為x0x+2y0y+1=0.
(2)由
x2
2
+y2=1
x0x+2y0y+1=0
,得2x2+2x0x+1-4y02=0,由此能求出|AB|=
1+
x02
4y02
|x1-x2|=
6
x02+4y02
2
,由此能推導(dǎo)出△PAB的面積為定值
3
6
4
解答:解:(1)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過(guò)點(diǎn)(1,
2
2
)
,e=
2
2
,
1
a2
+
1
2
b2
=1
c
a
=
2
2
,解得
a2=2
b2=1
,∴
a=
2
b=1
,…(2分)
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵O是△PAB的重心,∴
PO
=2
OM
xM=-
x0
2
,yM=-
y0
2

∴直線AB的方程為y+
y0
2
=-
x0
2y0
(x+
x0
2
),
又∵
x02
2
+y02=1

∴直線AB的方程轉(zhuǎn)化為x0x+2y0y+1=0,
且當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),x0=-
2
,y0=0,
直線AB的方程為x=
2
2
,也符合方程x0x+2y0y+1=0.…(6分)
(2)由
x2
2
+y2=1
x0x+2y0y+1=0
,得2x2+2x0x+1-4y02=0,
∴x1+x2=-x0,x1x2=
1-4y02
2
,
∴|x1-x2|=
x02+8y02-2
=
6
|y0|,
|AB|=
1+
x02
4y02
|x1-x2|=
6
x02+4y02
2

P(x0,y0)到x0x+2y0y+1=0的距離d=
|x02+2y02+1|
x02+4y02
=
3
x02+4y02

∴S△PAB=
1
2
•|AB|•d
=
1
2
6
x02+4y02
2
3
x02+4y02
=
3
6
4
,
∴△PAB的面積為定值
3
6
4
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線方程的求法,考查三角形面積的求法.綜合性強(qiáng),難度大,具有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思想的要求較高.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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