Question

曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在點（2，2ⁿ⁺¹）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

a1•a2…an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）先求出切線的斜率：函數(shù)曲線y=xⁿ⁺¹在x=2出的導(dǎo)數(shù)值，再由點斜式寫出切線方程，令y=0求出a_n
（Ⅱ）求出b_n，再由錯位相減法求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵y^′=（n+1）•xⁿ，
∴直線的方程為y-2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ•（x-2），
令y=0得a_n=

2n

n+1

（Ⅱ）∵a1a2an=2n(

1

2

2

3

n

n+1

)，∴bn=(n+1)•(

1

2

)n
∴Sn=2•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+4•(

1

2

)3++(n+1)•(

1

2

)n
∴

1

2

Sn=2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++n•(

1

2

)n+(n+1)•(

1

2

)n+1
∴Sn=3-

n+3

2n

點評：本題考查函數(shù)在某點出的切線、數(shù)列的錯位相減法求和，考查知識點較多，錯位相減法求和易出錯．