Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=lgx_n，則a₁+a₂+…+a₉₉的值為

 

．

Answer 1

分析：欲判x₁•x₂•…•x_n的值，只須求出切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：對(duì)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點(diǎn)
（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設(shè)y=0，xn=

n

n+1

則x₁•x₂•x₃…•x_n=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

×

n

n+1

=

1

n+1

，
從而a₁+a₂+…+a₉₉
=lg（x₁•x₂•x₃…•x₉₉）
=lg

1

100

=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．