Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）若f（α）=

2

3

，α∈（0，

π

8

），求cos2α的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接利用正弦型函數的周期關系式求出結論．
（2）利用（1）所確定的函數關系式進一步對關系式中的角進行恒等變換，利用三角函數的誘導公式求出結果．

解答： 解：（1）函數f（x）=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π，
由

2π

ω

=π得ω=2；
（2）解法1：由f(α)=2sin(2α+

π

6

)=

2

3

得sin(2α+

π

6

)=

1

3

∵α∈(0，

π

8

)，∴2α+

π

6

∈(

π

6

，

5π

12

)，
∴cos(2α+

π

6

)=

1-sin2(2α+ π 6 )

=

2 2

3

∴cos2α=cos[(2α+

π

6

)-

π

6

]
=cos(2α+

π

6

)cos

π

6

+sin(2α+

π

6

)sin

π

6

=

2 2

3

•

3

2

+

1

3

•

1

2

=

2 6 +1

6

[解法2]：由f(α)=2sin(2α+

π

6

)=

2

3

得sin(2α+

π

6

)=

1

3

，
即sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

=

1

3

sin2α=

2 3 -cos2α

3

①
將①代入sin²2α+cos²2α=1并整理得4cos²2α-12cos2α-23=0，
解得：cos2α=

12±24 6

72

=

1±2 6

6

，②
∵α∈(0，

π

8

)∴0＜2α＜

π

4

，∴cos2α＞0，故②中負值不合舍去，
∴cos2α=

1+2 6

6

．

點評：本題考查的知識要點：利用正弦型函數周期的關系式確定函數的解析式，函數關系式中角的恒等變換的應用．