Question

9．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，n∈N^*．
（1）證明：{$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$}的等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用已知是遞推公式推導(dǎo)$\frac{{a}_{n+1}}{1-{a}_{n+1}}：\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$為定值即可；
（2）由（1）的結(jié)論得到數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 證明：（1）由a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，得到${a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
$\frac{{a}_{n+1}}{1-{a}_{n+1}}：\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}{1-\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}}：\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}}{1-{a}_{n}}：\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=2，
所以{$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$}的等比數(shù)列；
（2）由（1）得到$\frac{{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=2，所以$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=2×2^n-1=2ⁿ，
所以數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)公式$\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{{2}^{n}}$，
設(shè)它的前n項(xiàng)和為S=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
所以S=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
所以數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的定義運(yùn)用以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；屬于中檔題．