Question

若f（x）=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ是偶函數(shù)，θ為常數(shù)，且f（x）的最小值是0．
（1）求tanθ的值；   
（2）求f（x）的最大值及此時(shí)x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）即可得出；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出sinθ與cosθ，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴?x∈R，都有f（-x）=f（x），化為（tanθ-2）sinx=0，解得tanθ=2．
（2）由

sin2θ+cos2θ=1 sinθ cosθ =2

解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

此時(shí)，f（x）=sinθ（cosx-1）．
當(dāng)sinθ=

2 5

5

時(shí)，f（x）=

2 5

5

(cosx-1)，最大值為0，不合題意，舍去；
當(dāng)sinθ=-

2 5

5

時(shí)，f（x）=-

2 5

5

(cosx-1)最小值為0．
當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）有最大值為

4 5

5

，自變量x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握偶函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．