Question

已知函數(shù)f(x)＝a^x＋x²－xlna(a＞0且a≠1)．

(Ⅰ)當(dāng)a＞1時(shí)，求證：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)若函數(shù)y＝|f(x)－t|－1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；

(Ⅲ)若存在x₁，x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1，試求a的取值范圍．

注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)， 　　由于，故當(dāng)x∈時(shí)，lna＞0，ax－1＞0，所以， 　　故函數(shù)在上單調(diào)遞增　　4分 　　(Ⅱ)當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3838/0022/a08939208d98553831cbc5c192836fca/C/Image180.gif" width=58 height=21>，且在R上單調(diào)遞增， 　　故有唯一解x＝0． 　　要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以只需方程有三個(gè)根， 　　即，只要，解得t＝2　　9分 　　(Ⅲ)因?yàn)榇嬖?I>x1，x2∈[－1，1]，使得， 　　所以當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，． 　　由(Ⅱ)知，， 　　． 　　事實(shí)上，． 　　記() 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3838/0022/a08939208d98553831cbc5c192836fca/C/Image194.gif" width=194 height=45> 　　所以在上單調(diào)遞增，又． 　　所以當(dāng)x＞1時(shí)，； 　　當(dāng)0＜x＜1時(shí)，， 　　也就是當(dāng)a＞1時(shí)，； 　　當(dāng)0＜a＜1時(shí)，． 　　①當(dāng)時(shí)，由，得， 　　解得． 　　②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由，得， 　　解得． 　　綜上知，所求a的取值范圍為．