Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，且時，有成立．

（1）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明；

（2）若對任意的以及任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增函數(shù)，證明見解析；（2）或或

【解析】

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性；

(2)先根據(jù)(1)的單調(diào)性可求出，代入不等式，不等式就可等價為即對任意的，恒成立，接下去有兩種方法可求：一、把右邊看成是關(guān)于的二次函數(shù)進行討論求最小值；二、把右邊看成是關(guān)于的一次函數(shù)求最小值即可.

(1)證明：設(shè)，且，

則由是定義在上的奇函數(shù)得：

又因為當(dāng)，且時，

有成立，

所以，

即得，所以在上為增函數(shù)．

（2）解法一：由（1）有在上，

所以有對任意的，恒成立，則：

（ⅰ）顯然滿足題意；

（ⅱ）當(dāng)，，即，得；

（ⅲ）當(dāng)，，即，得；

綜上有或或．

（2）解法二：由（1）有在上，

所以有對任意的恒成立，

則且，得或或．