Question

（02年全國(guó)卷文）（本小題滿(mǎn)分12分，附加題滿(mǎn)分4分）

（I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線(xiàn)標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；

（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；

（III）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過(guò)150分）

如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪成一個(gè)直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線(xiàn)標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明。

 

Answer 1

解析：（I）如圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線(xiàn)折起，可拼得一個(gè)正三棱錐．

如圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線(xiàn)折起，可成一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱錐的上底．

（II）依上面剪拼方法，有．

推理如下：

設(shè)給出正三角形紙片的邊長(zhǎng)為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其面積為．現(xiàn)在計(jì)算它們的高：

，．

所以．

（III）如圖3，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)，得三條線(xiàn)段，再以這三條線(xiàn)段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過(guò)新三角形的三個(gè)頂點(diǎn)向原三角形三邊作垂線(xiàn)，沿六條垂線(xiàn)剪下三個(gè)四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線(xiàn)折起，成為一個(gè)缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．