Question

已知矩陣A=

1 c

   

b 4

（b，c為實(shí)數(shù)）．若矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為

2 1

．
（Ⅰ）求矩陣A的逆矩陣A^-1；
（Ⅱ）求直線x+y-1=0在矩陣A^-1對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：逆變換與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為

2 1

，求出矩陣A，再求矩陣A的逆矩陣A^-1；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線x+y-1=0上任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為

2 1

，
∴

1 c

   

b 4

2 1

=2

2 1

，
∴b=2，c=-1，
∴A=

1 2 -1 4

，
∴A^-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線x+y-1=0上任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），
則

2 3 - 1 3 1 6 1 6

x y

=

x′ y′

，
∴

x′= 2 3 x- 1 3 y y′= 1 6 x+ 1 6 y

，
∴

x=x′+2y′ y=-x′+4y′

，
∴x′+2y′-x′+4y′-1=0，
∴6y′-1=0，
即6y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的特征向量和特征值的應(yīng)用，本題的運(yùn)算量較小，并且考查最基本的矩陣問(wèn)題，在高考中若出現(xiàn)是一個(gè)送分題目．屬于基礎(chǔ)題．