Question

已知函數(shù)

(I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;

(II)當(dāng)a≤0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(III)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x₁,x₂(0,+∞),且x₁≠x₂,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I)-2ln2

(II)當(dāng)時(shí)，和為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)a=-2時(shí)，為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)a<-2時(shí)，和為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間.

(III)存在.

【解析】

試題分析：(I)  首先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷極小值就是最小值，求出即可. (II) 求導(dǎo)、同分整理得.再分當(dāng)或當(dāng)a=-2或a<-2時(shí)，判斷的符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可. (III) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的，且，都有恒成立. 不妨設(shè)，使得，即，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)函數(shù)求出滿足函數(shù)g（x）在為增函數(shù)的a取值范圍即可.

試題解析：解：(I)定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041004310296986832/SYS201404100431392198609150_DA.files/image005.png">，當(dāng)a=1時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，所以f（x）在x=2時(shí)取得最小值，其最小值為.

(II) 因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041004310296986832/SYS201404100431392198609150_DA.files/image023.png">，所以

（1）當(dāng)時(shí)，若，，f（x）為增函數(shù)；時(shí)，，f（x）為減函數(shù)；時(shí)， ，f（x）為增函數(shù)；

（2）當(dāng)a=-2時(shí)，，f（x）為增函數(shù)；

（3）當(dāng)a<-2時(shí)，時(shí)， ，f（x）為增函數(shù)；時(shí),，f（x）為減函數(shù)；, ，f（x）為增函數(shù)；

(III)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的，且，都有恒成立，不妨設(shè)，使得，即，

令，只要g（x）在為增函數(shù)，考察函數(shù)，要使在恒成立.只需，即，故存在實(shí)數(shù)符合題意.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)法；2.函數(shù)的單調(diào)性；3、不等式恒成立.