【題目】已知函數(shù)

（1）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）中， 取最小值時，設函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明不等式： （且）.

【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）原題等價于恒成立，設，利用導數(shù)判斷得出差在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，可得結(jié)論；（2）由（1）可得關于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根，即，令，利用二次求導可得當時， 單調(diào)遞減，當時， 單調(diào)遞增，計算出端點值和極值，可得實數(shù)的取值范圍；（3）由（1）中的結(jié)論，令，則有，整理可得，當時，利用累加法可得結(jié)論成立.

試題解析：(1)由題意知， 恒成立.變形得： .

設，則，由可知， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 在處取得最大值，且.

所以，實數(shù)的取值范圍是.

(2)由(1)可知， ，當時， ，

，

在區(qū)間上恰有兩個零點，即關于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，

則， ，于是， 在上單調(diào)遞增.

因為，當時， ，從而， 單調(diào)遞減，

當時， ，從而， 單調(diào)遞增，

， ， ，

因為，所以實數(shù)的取值范圍是.

(3)由(1)可知，當時，有，

當且僅當時取等號.

令，則有，其中 .

整理得： ，

當時，

， ， ， ，

上面個式子累加得： . 且，

即.命題得證.

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溫度x/C

21

23

24

27

29

32

產(chǎn)卵數(shù)y/個

6

11

20

27

57

77

經(jīng)計算得： ， ， ， ，

，線性回歸模型的殘差平方和，e8.0605≈3167，其中xi, yi分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.

(Ⅰ)若用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程=x+（精確到0.1）；

(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為=0.06e0.2303x，且相關指數(shù)R2=0.9522.

( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好.

( ii )用擬合效果好的模型預測溫度為35C時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計為

=；相關指數(shù)R2=．

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A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151

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