Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by，（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

1

a

+

3

2b

的最小值為

25

12

．

Answer 1

分析：已知2a+3b=6，求+的最小值，可以作出不等式的平面區(qū)域，先用乘積進(jìn)而用基本不等式解答．

解答：解：不等式

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）
過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而

1

a

+

3

2b

=

1

6

（

1

a

+

3

2b

）（2a+3b）=

1

3

+

3

4

+

1

6

（

3b

a

+

3a

b

）≥

13

12

+1=

25

12

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

6

5

時(shí)取等號(hào)．
故

1

a

+

3

2b

的最小值為：

25

12

．
故答案為：

25

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．