Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，4），離心率為

3

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為

4

5

的直線被橢圓所截得線段的中點坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，4），可求b，利用離心率為

3

5

，求出a，即可得到橢圓C的方程；
（2）過點（3，0）且斜率為

4

5

的直線為y=

4

5

（x-3），代入橢圓C方程，整理，利用韋達定理，確定線段的中點坐標．

解答： 解：（1）將點（0，4）代入橢圓C的方程得

16

b2

=1，∴b=4，…（1分）
由e=

c

a

=

3

5

，得1-

16

a2

=

9

25

，∴a=5，…（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（2）過點（3，0）且斜率為

4

5

的直線為y=

4

5

（x-3），…（5分）
設直線與橢圓C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程y=

4

5

（x-3）代入橢圓C方程，整理得x²-3x-8=0，…（7分）
由韋達定理得x₁+x₂=3，
y₁+y₂=

4

5

（x₁-3）+

4

5

（x₂-3）=

4

5

（x₁+x₂）-

24

5

=-

12

5

．…（10分）
由中點坐標公式AB中點橫坐標為

3

2

，縱坐標為-

6

5

，
∴所截線段的中點坐標為（

3

2

，-

6

5

）．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，確定橢圓的方程是關鍵．