Question

已知m是區(qū)間[0，4]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，那么函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+m²x+3在x∈R上是增函數(shù)的概率是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,幾何概型

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）在x∈R上是增函數(shù)，得到f′（x）=x²-4x+m²≥0恒成立，求出a的范圍，利用幾何概型的概率公式即可的得到結(jié)論．

解答： 解：∵f′（x）=x²-4x+m²，
f（x）=

1

3

x³-2x²+m²x+3在x∈R上是增函數(shù)
∴f′（x）=x²-4x+m²≥0恒成立
∴△=16-4m²≤0
解得m≥2或m≤-2
又∵m是區(qū)間[0，4]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)
∴2≤m≤4
由幾何概型概率公式得
函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+m²x+3在x∈R上是增函數(shù)的概率P=

4-2

4

=

1

2

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)遞增時(shí)對(duì)應(yīng)a的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．