已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,其中a為實(shí)數(shù).
(1)設(shè)t>0為常數(shù),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最小值;
(2)若對(duì)一切x∈(0,+∞),不等式2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)f'(x)=lnx+1,
當(dāng)x∈(0,
1
e
),f′(x)<0,f(x)
單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(
1
e
,+∞),f′(x)>0,f(x)
單調(diào)遞增
0<t<t+2<
1
e
,沒(méi)有最小值;
0<t<
1
e
<t+2
,即0<t<
1
e
時(shí),f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e

1
e
≤t<t+2
,即t≥
1
e
時(shí),f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt;(5分)
所以f(x)min=
-
1
e
,0<t<
1
e
.
tlnt,t≥
1
e

(2)由已知,
2xlnx≥-x2+ax-3,則a≤2lnx+x+
3
x
,
設(shè)h(x)=2lnx+x+
3
x
(x>0)
,則h′(x)=
(x+3)(x-1)
x2

①x∈(0,1),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
②x∈(1,+∞),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
所以h(x)min=h(1)=4,對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
所以a≤h(x)min=4;
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿(mǎn)分14分)
己知函數(shù),(Ⅰ)證明函數(shù)是R上的增函數(shù);
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設(shè)f(x)=lg(
2
1-x
+a)是奇函數(shù),則使f(x)<0的x的取值范圍是( 。
A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)

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已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),若函數(shù)g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.(
1
e
,e2+
1
e
B.(0,e2+
1
e
C.(e2+
1
e
,+∞)
D.(-∞,e2+
1
e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)f(x)是偶函數(shù),若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為1,則該曲線在(-1,f(-1))處的切線的斜率為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

若函數(shù)f(x)=(a-
1
ex-1
)sinx
是偶函數(shù),則常數(shù)a等于______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-(2a+2)
(Ⅰ)解關(guān)于x的不等式f(x)>x;
(Ⅱ)若f(x)+3≥0在區(qū)間(-1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
ax2-(1+a)x+1

(1)當(dāng)a=0時(shí),求證函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使得區(qū)間[-1,1]上一切x都滿(mǎn)足f(x)≤
3
,若存在,求實(shí)數(shù)a的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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