Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列滿足：，

（I） 求得值；

（II）     設求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項公式；

（III）    對任意的，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項，并證明這項構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因為 ，所以，，

,                      …………3分

（Ⅱ）由題意，對于任意的正整數(shù)，，

所以                                          …………4分

又 

所以                                           …………6分

    又                                  …………7分

     所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以     …………8分

（III）存在. 事實上，對任意的，在數(shù)列中，

這連續(xù)的項就構(gòu)成一個等差數(shù)列     ……10分

我們先來證明：

“對任意的，，有”

由（II）得，所以 .

     當為奇數(shù)時，

當為偶數(shù)時，

記

因此要證，只需證明，

其中

(這是因為若，則當時，則一定是奇數(shù)，

有

=；

     當時，則一定是偶數(shù)，有

               = )

如此遞推，要證， 只要證明，

其中，

如此遞推下去， 我們只需證明，

即，即，由（I）可得，

所以對，，有，

對任意的 ，

，，其中，

所以

又，，所以

所以這連續(xù)的項，

是首項為，公差為的等差數(shù)列 .       …………13分

說明：當（其中）時，

因為構(gòu)成一個項數(shù)為的等差數(shù)列，所以從這個數(shù)列中任取連續(xù)的項，也是一個項數(shù)為，公差為的等差數(shù)列.

【解析】略