Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1a_n=2ⁿ（n∈N），則S₂₀₁₄=（　�。�

• A． 2²⁰¹⁴-1
• B． 2¹⁰⁰⁷-1
• C． 2¹⁰⁰⁷-3
• D． 2¹⁰⁰⁷-2

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}項(xiàng)構(gòu)成1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1a_n=2ⁿ（n∈N），
∴a_n+2a_n+1=2ⁿ⁺¹，∴$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
由a_n+1a_n=2ⁿ可得a₂a₁=2，∴a₂=2，
∴數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}項(xiàng)構(gòu)成1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴S₂₀₁₄=$\frac{1×（1-{2}^{2014}）}{1-2}$=2²⁰¹⁴-1
故選：A

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的求和公式，判定數(shù)列為等比數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．