Question

下面有五個(gè)命題
①函數(shù)f（x）=sin⁴x-cos⁴x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(-

π

4

，0)；
②y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱，
③關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的兩實(shí)根為x₁，x₂，若0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

b

a

的取值范圍是（-

5

4

，-

1

2

）
④設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，則方程f(x)=f(

x+3

x+4

)所有根之和為8
⑤不等式sinx＞

4x2

π2

對(duì)任意x∈(0，

π

2

)恒成立．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運(yùn)用二倍角的余弦公式，化簡f（x），再由余弦函數(shù)的對(duì)稱中心，即可判斷①；
由反比例函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，以及圖象平移的規(guī)律，即可判斷②；
由二次方程實(shí)根的分布，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得到不等式組，畫出可行域，再由直線的斜率公式，即可判斷③；
運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性，結(jié)合韋達(dá)定理，即可判斷④；
運(yùn)用正弦函數(shù)和拋物線的圖象，即可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）
（sin²x+cos²x）=-cos2x，令2x=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

π

4

，k為整數(shù)，即關(guān)于（

kπ

2

+

π

4

，0）對(duì)稱，則①對(duì)；
對(duì)于②，y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的圖象可由y=

4

x

的圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，故關(guān)于（1，1）對(duì)稱，
則②錯(cuò)；
對(duì)于③，關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，
a、b∈R）的兩實(shí)根為x₁，x₂，
且0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

即有

a+b+1＞0 2a+b+3＜0 3a+b+7＞0

，
作出不等式組表示的可行域，

b

a

=

b-0

a-0

表示點(diǎn)（a，b）與原點(diǎn)的斜率，
易得A（-4，5），B（-2，1），C（-3，2），k_OA=-

5

4

，k_OB=-

1

2

，由圖象，
可知

b

a

的取值范圍是（-

5

4

，-

1

2

），則③對(duì)；
對(duì)于④，設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，則方程f(x)=f(

x+3

x+4

)
即為f（|x|）=f（|

x+3

x+4

|），則有x=

x+3

x+4

或x+

x+3

x+4

=0，即有x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
即有韋達(dá)定理可得，x₁+x₂=-3，x₃+x₄=-5，所有根之和為-8，則④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，令y=sinx，y=

4x2

π2

，則x=0，y=0，x=

π

2

，y=1，由sinx在（0，

π

2

）的圖象上凸，
y=

4x2

π2

為拋物線下凹，則不等式sinx＞

4x2

π2

對(duì)任意x∈(0，

π

2

)恒成立．則⑤對(duì)．
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性、二次方程實(shí)根的分布和不等式表示的平面區(qū)域、函數(shù)的奇偶性和運(yùn)用，以及不等式恒成立問題的解法，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．