Question

點(diǎn)P到x軸的距離比它到點(diǎn)（0，1）的距離小1，稱(chēng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，點(diǎn)M為直線(xiàn)l：y=-m （m＞0）上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-l）時(shí)，求過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線(xiàn)l與此圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P到x軸的距離比點(diǎn)P到點(diǎn)（0，1）的距離小1，
∴點(diǎn)P到直線(xiàn)y=-1的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)（0，1）的距離，
∴點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)為y=-1的拋物線(xiàn)，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：x²=4y．
（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y=kx-1，
代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，①
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），|AB|=4．
∵M(jìn)到AB的中點(diǎn)（0，1）的距離為2，
∴過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=4．
易知圓與直線(xiàn)l：y=-1相切．
（3）設(shè)M（x₀，-m），過(guò)M的切線(xiàn)方程為：y=k（x-x₀）-m．
聯(lián)立整理得 x²-4kx+4（kx₀+m）=0，
∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，∴△=0．
即16k²-16（kx₀+m）=0，整理得k²-kx₀-m=0，
∴k_MA+k_MB=x₀，k_MA•k_MB=-m
若MA⊥MB，則k_MA•k_MB=-m=-1．
即m=1時(shí)，直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)M均有MA⊥MB；
m≠1時(shí)，MA與MB不垂直．
綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)l上存在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)M，使MA⊥MB，
當(dāng)m≠1時(shí)，直線(xiàn)l上不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M．
分析：（1）利用拋物線(xiàn)的定義即可得出其軌跡；
（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y=kx-1，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，因?yàn)橄嗲�，可得�?0，即可解出斜率k，可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到過(guò)三點(diǎn)A、B、M的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可判斷出直線(xiàn)l與此圓的位置關(guān)系；
（3）設(shè)M（x₀，-m），過(guò)M的切線(xiàn)方程為：y=k（x-x₀）-m．與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，由于相切可得△=0，即可得到直線(xiàn)MA，MB的斜率滿(mǎn)足的關(guān)系式，再利用垂直滿(mǎn)足的關(guān)系式即可判斷出答案．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線(xiàn)的定義、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程的△=0、根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)相互垂直與斜率的關(guān)系、分類(lèi)討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．