Question

已知雙曲線方程為x²-4y²=16，則過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有

 

條．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把直線與雙曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，借助判別式求解．注意分類討論．

解答： 解；雙曲線方程為x²-4y²=16，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

x2

16

-

y2

4

=1，
當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x=2，與

x2

16

-

y2

4

=1，無(wú)公共點(diǎn)，
當(dāng)k存在時(shí)，直線為：y=k（x-2）+1，代入雙曲線的方程可得：
（1-4k²）x²+（16k²-8k）x-16k²+16k-20=0，
（1）若1-4k²=0，k=

1

2

，時(shí)y=

1

2

x，所以無(wú)公共點(diǎn)，
k=-

1

2

時(shí)，y=-

1

2

x+2，與y=-

1

2

x平行，所以與雙曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)，
（2）k≠±

1

2

時(shí)，△=（16k²-8k）²-4×（1-4k²）（-16k²+16k-20）=-64k+80-192k²=0
即k=

1

2

（舍去），k=-

5

6

，此時(shí)直線y=-

5

6

（x-2）+1與雙曲線相切，只有1個(gè)公共點(diǎn)．
綜上過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線2條．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，計(jì)算較復(fù)雜，化簡(jiǎn)運(yùn)算要仔細(xì)認(rèn)真．