Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），若將動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍后得到點(diǎn)Q（x，y），且滿(mǎn)足•=1．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作斜率為-的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn)，且++=，試求△MNH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），表示出=（x+1，y），=（x-1，y），利用•=1，即可求得動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出l：y=-（x-1），與橢圓聯(lián)立方程組，消去y，得2x²-2x-1=0，利用++=，確定H的坐標(biāo)，計(jì)算|MN|，及H到直線(xiàn)l的距離即可求出△MNH的面積．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
依據(jù)題意，有=（x+1，y），=（x-1，y）．…（2分）
∵•=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程是+y²=1 …（4分）
（Ⅱ）因直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，且斜率為k=-，故有l(wèi)：y=-（x-1）…（5分）
聯(lián)立方程組，消去y，得2x²-2x-1=0．…（7分）
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得，于是．…（8分）
又++=，得=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），即H（-1，-）…（10分）
∴|MN|=，…（12分）
又l：x+2y-=0，則H到直線(xiàn)l的距離為d=
故所求△MNH的面積為S=．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，計(jì)算弦長(zhǎng)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是關(guān)鍵．