(2012•淄博一模)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),若將動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的
2
倍后得到點(diǎn)Q(x,
2
y),且滿足
AQ
BQ
=1.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn),且
OM
+
ON
+
OH
=
0
,試求△MNH的面積.
分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,
2
y),表示出
AQ
=(x+1,
2
y),
BQ
=(x-1,
2
y),利用
AQ
BQ
=1,即可求得動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)出l:y=-
2
2
(x-1),與橢圓聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
y=-
2
2
(x-1)
,消去y,得2x2-2x-1=0,利用
OM
+
ON
+
OH
=
0
,確定H的坐標(biāo),計(jì)算|MN|,及H到直線l的距離即可求出△MNH的面積.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,
2
y).
依據(jù)題意,有
AQ
=(x+1,
2
y),
BQ
=(x-1,
2
y).…(2分)
AQ
BQ
=1,
∴x2-1+2y2=1.
∴動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是
x2
2
+y2=1 …(4分)
(Ⅱ)因直線l過(guò)點(diǎn)B,且斜率為k=-
2
2
,故有l(wèi):y=-
2
2
(x-1)…(5分)
聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
y=-
2
2
(x-1)
,消去y,得2x2-2x-1=0.…(7分)
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),可得
x1+x2=1
x1x2=-
1
2
,于是
x1+x2=1
y1+y2=
2
2
.…(8分)
OM
+
ON
+
OH
=
0
,得
OH
=(-x1-x2,-y1-y2),即H(-1,-
2
2
)…(10分)
∴|MN|=
1+k2
[(x1+x2)2-4x1x2]
=
3
2
2
,…(12分)
又l:
2
x+2y-
2
=0,則H到直線l的距離為d=
|-
2
+2×(-
2
2
)-
2
|
6
=
3

故所求△MNH的面積為S=
1
2
×
3
2
2
×
3
=
3
6
4
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程的求法,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計(jì)算,計(jì)算弦長(zhǎng)及點(diǎn)到直線的距離是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(I)若一次從中隨機(jī)抽取3張卡片,求3張卡片上數(shù)字之和大于或等于7的概率;
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(2012•淄博一模)已知函數(shù)f(x)=2cos2
x
2
-
3
sinx

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若a為第二象限角,且f(a-
π
3
)=
1
3
,求
cos2a
1+cos2a-sin2a
的值.

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(2012•淄博一模)已知不等式x2-x≤0的解集為M,且集合N={x|-1<x<1},則M∩N為( 。

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(2012•淄博一模)設(shè)方程log4x-(
1
4
x=0、log 
1
4
x-(
1
4
x=0的根分別為x1、x2,則( 。

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