Question

已知圓經過橢圓的右焦點F及上頂點B．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓外一點M（m，0）（m＞a）傾斜角為的直線l交橢圓于C、D兩點，若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓的方程，確定F，B的坐標，進而可得橢圓的方程；
（2）設直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，建立不等式，即可確定m的取值范圍．
解答：解：（1）∵圓G：經過橢圓的右焦點F及上頂點B．
∴F（2，0），
∴c=2，
∴a²=6
∴橢圓的方程為
（2）設直線l的方程為
由得2x²-2mx+（m²-6）=0
由△=4m²-8（m²-6）＞0，可得，
又，∴（10分）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，，
∴
∵，，
∴=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂==
∵點F在圓G的外部，∴，即，
解得m＜0或m＞3，又，
∴
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．