Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=

π

3

，AB=CC₁=2．
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）設(shè)E是CC₁的中點(diǎn)，求AE和平面ABC₁所成角正弦值的大�。�

Answer 1

分析：（1）證明C₁B⊥平面ABC，根據(jù)本題條件，需要證明BC₁AB⊥，由AB⊥側(cè)面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC，則需要通過解三角形來證明．
（2）過E作BC₁的垂線，垂足為F，則EF⊥面ABC₁，連接AF，則∠EAF為所求．

解答：（1）證明：在△BCC₁中，
∵BC=1，CC₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
∴BC₁=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC；
（2）解：∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB?面ABC₁，
∴側(cè)面BB₁C₁C⊥面ABC₁，
過E作BC₁的垂線，垂足為F，則EF⊥面ABC₁，
連接AF，則∠EAF為所求．
∵BC₁⊥BC，BC₁⊥EF，
∴BC∥EF，
∵E是CC₁的中點(diǎn)，
∴F是BC₁的中點(diǎn)，EF=

1

2

，
∵AE=

5

，
∴sin∠EAF=

1 2

5

=

5

10

，即AE和平面ABC₁所成角正弦值為

5

10

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．