Question

（2005•南匯區(qū)一模）（理）如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，AB=5，BC=2，AD=8，異面直線AC₁與A₁D互相垂直．
（1）求直棱柱棱AA₁的長；
（2）若點(diǎn)M在線段A₁D上，AM⊥A₁D，求直線AD與平面AMC₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到有關(guān)向量的坐標(biāo)，再利用異面直線AC₁與A₁D互相垂直，

AC1

⊥

A1D

，即

AC1

•

A1D

=0，進(jìn)而得到答案．
（2）由（1）可得

A1D

•

AC1

=0，即A₁D⊥AC₁，再結(jié)合題意可得：A₁D⊥平面AC₁M，可得∠MAD即為直線AD與平面AMC₁所成的角，再利用題中的條件與解三角形的有關(guān)知識可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=90°，
所以AD，AB，AA₁三條直線兩兩垂直，
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)以AB、AD、AA₁所在直線分別x軸、y軸、Z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)棱AA₁的長為a，（a＞0）
則有A （0，0，0），B （5，0，0），C（5，2，0），D（0，8，0），A₁（0，0，a），B₁（5，0，a），C₁（5，2，a），D₁（0，8，a），
∴

AC1

=(5，2，a)，

A1D

=(0，8，-a)，（3分）
又因?yàn)楫惷嬷本�AC₁與A₁D互相垂直，
所以

AC1

⊥

A1D

，即

AC1

•

A1D

=0，（6分）
所以可得：a=4，
故棱AA₁的長為4．（8分）
（2）由（1）知

A1D

=（0，8，-4），

AC1

=（5，2，4），
所以

A1D

•

AC1

=0，即A₁D⊥AC₁，
又因?yàn)锳M⊥A₁D，AM∩AC₁=A，
所以A₁D⊥平面AC₁M，
所以∠MAD即為直線AD與平面AMC₁所成的角．（10分）
因?yàn)锳A₁=4，AD=8，AM⊥A₁D，
所以AM=

8 5

5

，
所以cos∠MAD=

AM

AD

=

8 5 5

8

=

5

5

（12分）
所以直線AD與平面AMC₁所成的角的大小是arccos

5

5

．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用向量證明線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，并且考查了線面角的求解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與向量之間的有關(guān)運(yùn)算．