Question

已知數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)的正數(shù)數(shù)列，雙曲線(xiàn)a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且c₁=6，一條漸近線(xiàn)方程為．
（1）求數(shù)列{c_n}（n∈N*）的通項(xiàng)公式；
（2）試判斷：對(duì)一切自然數(shù)n（n∈N*），不等式是否恒成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先將雙曲線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)c²=a²+b²得出c_n=a_n+a_n-1，然后據(jù)漸近線(xiàn)方程得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)c_n=a_n+a_n-1求出所得．
（2）首先令，然后利用數(shù)列的錯(cuò)位求和法求出s_n，再比較大�。�
解答：解：（1）∵雙曲線(xiàn)方程為a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n
∴
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為
∴c_n=a_n+a_n-1
又∵漸近線(xiàn)方程得
∴
∵a₁=4
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列
∴a_n=2ⁿ⁺¹
∴c_n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ=3•2ⁿ（n≥2）
又∵c₁=6，也符合上式
∴c_n=3•2ⁿ（n∈N^*）
（2）令①
則②
1-②，得
∴S_n=2×[]
即
∴
即
∴對(duì)一切自然數(shù)n（n∈N*），不等式恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列和解析幾何以及數(shù)列求和與不等式的綜合，特別要注意數(shù)列的錯(cuò)項(xiàng)求和法的運(yùn)用．