Question

已知拋物線(xiàn)C頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線(xiàn)l:x-y-2=0的距離為,設(shè)P為直線(xiàn)l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x₀,y₀)為直線(xiàn)l上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)AB的方程;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

Answer 1

(1) x²=4y   (2) y=x₀x-y₀   (3)

解:(1)∵拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線(xiàn)l:x-y-2=0的距離為,
∴=,得c=1,
∴F(0,1),即拋物線(xiàn)C的方程為x²=4y.
(2)設(shè)切點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
由x²=4y得y′=x,
∴切線(xiàn)PA:y-y₁=x₁(x-x₁),
有y=x₁x-+y₁,而=4y₁,
即切線(xiàn)PA:y=x₁x-y₁,
同理可得切線(xiàn)PB:y=x₂x-y₂.
∵兩切線(xiàn)均過(guò)定點(diǎn)P(x₀,y₀),
∴y₀=x₁x₀-y₁,y₀=x₂x₀-y₂,
由此兩式知點(diǎn)A,B均在直線(xiàn)y₀=xx₀-y上,
∴直線(xiàn)AB的方程為y₀=xx₀-y,
即y=x₀x-y₀.
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
則|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y₁+1)·(y₂+1)
=y₁y₂+(y₁+y₂)+1.
由
得y²+(2y′-x′²)y+y′²=0,
有y₁+y₂=x′²-2y′,y₁y₂=y′²,
∴|AF|·|BF|=y′²+x′²-2y′+1
=y′²+(y′+2)²-2y′+1
=2²+,
當(dāng)y′=-,x′=時(shí),
即P時(shí),|AF|·|BF|取得最小值.