Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，=（2a，1），=（2b-c，cosC）且∥．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函數(shù)式的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b-c），
根據(jù)正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形內(nèi)角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=
∵A是三角形內(nèi)角，
∴A=，得sinA= …（5分）
（II）==2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴=sin（2C-），
∵A=，得C∈（0，），
∴2C-∈（-，），可得-＜sin（2C-）≤1，
∴-1＜sin（2C-），
即三角函數(shù)式的取值范圍是（-1，]． …（11分）
分析：（I）根據(jù)向量平行的充要條件列式：2b-c=2acosC，結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理，可得cosA=，從而得到sinA的值；
（II）將三角函數(shù)式用二倍角的余弦公式結(jié)合“切化弦”，化簡(jiǎn)整理得sin（2C-），再根據(jù)A=算出C的范圍，得到sin（2C-）的取值范圍，最終得到原三角函數(shù)式的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出向量平行，通過列式化簡(jiǎn)求A的大小，并求關(guān)于B的三角式的取值范圍．著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡(jiǎn)、正弦定理和誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．