Question

已知橢圓的長軸長為4，且點(diǎn)在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB是直角，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的長軸長為4，且點(diǎn)在該橢圓上，知，由此能求出橢圓的方程．
（2）由直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F（，0），設(shè)l的方程為：y=k（x-），聯(lián)立，得（4k²+1）x²-8k²x+12k²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB是直角，利用韋達(dá)定理和x₁x₂+y₁y₂=0能求出直線l的方程．
解答：解：（1）∵橢圓的長軸長為4，且點(diǎn)在該橢圓上，
∴，解得b²=1．
∴橢圓的方程為．
（2）∵直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F（，0），
∴設(shè)l的方程為：y=k（x-），
聯(lián)立，得（4k²+1）x²-8k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=，
y₁y₂=k（x₁-）•k（x₂-）=k²x₁x₂-（x₁+x₂）+3k²，
∵∠AOB是直角，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-（x₁+x₂）+3k²
=（k²+1）•）-•+3k²
==0，
解得k=．
∴直線l的方程為y=（x-）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、直線方程、橢圓性質(zhì)、向量等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．