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【題目】直角坐標系xOy中，已知MN是圓C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一條弦，且CM⊥CN，P是MN的中點.當弦MN在圓C上運動時，直線l：x﹣y﹣5=0上總存在兩點A，B，使得恒成立，則線段AB長度的最小值是_____.

【答案】

【解析】

依題意,點P在以C為圓心以1為半徑的圓上,要使得∠APB恒成立,則點P在以AB為直徑的圓內部,所以AB的最小值為圓的直徑的最小值.

因為P為MN的中點,所以CP⊥MN,

又因為CM⊥CN,所以三角形CMN為等腰直角三角形,所以CP=1,

即點P在以C為圓心,以1為半徑的圓上,點P所在圓的方程為(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,

要使得∠APB恒成立,則點P所在的圓在以AB為直徑的圓的內部,

而AB在直線l：x﹣y﹣5=0上,

C到直線l：x﹣y﹣5=0的距離d.

所以以AB為直徑的圓的半徑的最小值為r=31,

所以AB的最小值為2r=62.

故答案為：62.

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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