【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點P（0，2）的直線交橢圓C于A，B兩點，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析： 利用和橢圓經(jīng)過點，列方程即可解出的值，帶入即可求得橢圓的方程

易知斜率存在，設其方程為，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，消去得，再由根的判別式和韋達定理可求出三角形面積的最大值

解析：（Ⅰ）解：由，

得． ①

由橢圓C經(jīng)過點，得． ②…

聯(lián)立①②，解得 b=1，．

所以橢圓C的方程是．

（Ⅱ）易知直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+2．

將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，

消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0．…

令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則，． …

所以． …

因為，

設 k2﹣1=t（t＞0），

則． …

當且僅當，即時等號成立，

此時△AOB面積取得最大值．

練習冊系列答案
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A.[ ，1）∪（1，3]
B.[0， ）∪（1，3]
C.（0， ]
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