Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+m

2x+1

為奇函數(shù)，m∈R．
（1）求m的值；
（2）利用定義判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

2x+m

2x+1

為奇函數(shù)，則f（0）=0，可得m的值；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，任取x₁、x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到f（x）在[-1，1]上的最大值；

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)．
∴f（0）=

1+m

2

=0，
解得m=-1，
當(dāng)m=-1時，f（x）=

2x-1

2x+1

，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
滿足奇函數(shù)的定義．
故m=-1；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，
任取x₁、x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=2（

2

2x2+1

-

2

2x1+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在其定義域R上是增函數(shù)．
由f（1）=

2-1

2+1

=

1

3

，
故f（x）在[-1，1]上的最大值為

1

3

．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．