在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為
2
+1的線段的兩端點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，
CP
=
2
PD
．記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程；
（II）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，
OM
=
OA
+
OB
，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求
OA
•
OB
的值．
（Ⅰ）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由
CP
=
2
PD
，得（x-m，y）=
2
（-x，n-y），
∴x-m=-
2
x，y=
2
（n-y），
由|CD|=
2
+1，得m2+n2=（
2
+1）2，
∴（
2
+1）2x2+
(
2
+1)2
2
y2=（
2
+1）2，
整理，得曲線E的方程為x2+
y2
2
=1
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
OM
=
OA
+
OB
知點(diǎn)M坐標(biāo)為（x1+x2，y1+y2）．
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入曲線E方程，得（k2+2）x2+2kx-1=0，
則x1+x2=-
2k
k2+2
，x1x2=-
1
k2+2
，
y1+y2=k（x1+x2）+2=
4
k2+2
，
由點(diǎn)M在曲線E上，知（x1+x2）2+
(y1+y2)2
2
=1，
即（-
2k
k2+2
）2+
8
(k2+2)2
=1
解得k2=2．
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（-
2k
k2+2
）+1=-
3
4

∴
OA
•
OB
=-
3
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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