Question

18．關(guān)于x的方程g（x）=t（t∈R）的實(shí)根個(gè)數(shù)記為f（t）．若g（x）=lnx，則f（t）=1；若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤0\\-{x^2}+2ax+a，x＞0\end{array}$（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則a的取值范圍是a＞1．

Answer 1

分析 若g（x）=lnx，則函數(shù)的值域?yàn)镽，且函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故方程g（x）=t有且只有一個(gè)根，故f（t）=1，
若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤0\\-{x^2}+2ax+a，x＞0\end{array}$（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時(shí)，函數(shù)的最大值大于2，且對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，解得答案．

解答 解：若g（x）=lnx，則函數(shù)的值域?yàn)镽，且函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，
故方程g（x）=t有且只有一個(gè)根，
故f（t）=1，
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤0\\-{x^2}+2ax+a，x＞0\end{array}$，
當(dāng)t≤0時(shí)，f（t）=1恒成立，
若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，
則x＞0時(shí)，函數(shù)的最大值大于2，且對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{-4a-4{a}^{2}}{-4}＞2\end{array}\right.$，
解得：a＞1，
故答案為：1，a＞1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)及個(gè)數(shù)判斷，難度中檔．