Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為

2

2

，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1．（m＞0，n＞0，m≠n），然后，設(shè)出相應(yīng)的點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)垂直和斜率關(guān)系列出兩個(gè)方程確定m，n的值，從而得到其方程．

解答： 解：設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1．（m＞0，n＞0，m≠n）
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
聯(lián)立方程組

x+y-1=0 mx2+ny2=1

，
消去y并整理得
（m+n）x²-2nx+n-1=0，
∴x₁+x₂=

2n

m+n

，x₁•x₂=

n-1

m+n

，
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂，
∴

y1+y2

2

=

2-(x1+x2)

2

=

m

m+n

，
y₁•y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=

m-1

m+n

∴M（

n

m+n

，

m

m+n

），
∴k_OM=

m

2n

=

2

2

，①
∵OA⊥OB，
∴

y1y2

x1x2

=

m-1

n-1

=-1 ②
聯(lián)立①②，得

m=2 2 -2 n=4-2 2

，
∴橢圓的方程(2

2

-2)x2+(4-2

2

)y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解直線與橢圓的位置關(guān)系的處理思路和方法．