Question

已知函數f（x）＝的圖象過坐標原點O，且在點（－1，f（－1））處的切線的斜率是－5．

　　　 （1）求實數b、c的值；

　　　 （2）求f（x）在區(qū)間[－1,2]上的最大值；

Answer 1

解：�。�1）當x<1時，f（x）＝－x³＋x²＋bx＋c，則f′（x）＝－3x²＋2x＋b．

依題意，得即，

解得b＝c＝0                  …………．     4分

（2）由（1）知，f（x）＝．

①當－1≤x<1時，f′（x）＝－3x²＋2x＝－3x，

令f′（x）＝0得x＝0或x＝．

當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（－1,0）	0
f′（x）	－	0	＋	0	－
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又f（－1）＝2，f＝，f（0）＝0，

∴f（x）在[－1,1）上的最大值為2．          ………………．8分

②當1≤x≤2時，f（x）＝aln x．

當a≤0時，f（x）≤0，∴f（x）的最大值為0；

當a>0時，f（x）在[1,2]上單調遞增，

∴f（x）在[1,2]上的最大值為aln 2．

綜上所述，

當aln 2≤2，即a≤時，f（x）在[－1,2]上的最大值為2；

當aln 2>2，即a>時，f（x）在[－1,2]上的最大值為aln 2．   …………．．12分