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已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點，點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：x2+（y-5）2=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．
【答案】分析：（1）待定系數法求橢圓的方程，設橢圓C的方程為mx2+ny2=1，將點，點代入，建立方程組，即可求出橢圓C的方程；
（2）設出雙曲線方程，利用圓M：x2+（y-5）2=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，建立兩個方程，從而可求出雙曲線G的方程．
解答：解：（1）依題意，可設橢圓C的方程為mx2+ny2=1，…（1分）
從而，解得…（3分）
故橢圓C的方程為…（4分）
（2）橢圓C：的兩焦點為F1（-5，0），F2（5，0），…（5分）
∵雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，
∴雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，且c=5．…（6分）
設雙曲線G的方程為（a＞0，b＞0），則G的漸近線方程為y=±x，…（7分）
即bx±ay=0，且a2+b2=25，
圓M：x2+（y-5）2=9的圓心為（0，5），半徑為r=3．
∵雙曲線G的兩條漸近線恰好與圓M相切
∴
∴a=3，b=4．…（9分）
∴雙曲線G的方程為．…（10分）
點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查待定系數法，根據不同條件，設出方程是我們解答這類問題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(3
2
，4)，點B(
10
，2
5
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓M：x2+（y-5）2=9，雙曲線G與橢圓C有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點，
（ I）求橢圓C的方程；
（ I I）問是否存在直線l：y=
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x+t，使直線l與橢圓C有公共點，且原點到直線l的距離為4？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在坐標原點O，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M=（2，1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l平行于OM，且與橢圓交于A、B兩個不同點．
（ⅰ）若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010福建理數）17．（本小題滿分13分）

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。

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