Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，且a₁=2．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；
（2）求證：2nⁿ≤a${\;}_{n}^{n}$＜3nⁿ．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，且a₁=2，分別令 n=2，3，4即可求解，進而可猜想，然后利用數(shù)學歸納法進行證明即可；
（2）由（1）可得a_n=n+1，從而有${{a}_{n}}^{n}$=（n+1）ⁿ，利用二項式定理展開式以及構造函數(shù)，利用單調(diào)性證明．

解答 解：（1）由已知a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，且a₁=2．得到a₂=${{a}_{1}}^{2}$-a₁+1=3，a₃=${{a}_{2}}^{2}$-2a₂+1=4，a₄=${{a}_{3}}^{2}$-3a₃+1=5；
由此猜測數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n+1；
證明：①n=1，2，3，4顯然成立；
②假設n=k時成立，即a_k=k+1，則n=k+1時，a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1；
所以n=k+1時，數(shù)列a_n=n+1也成立；
所以數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n+1對任意n∈N₊都成立；
（2）因為a_n=n+1，所以${{a}_{n}}^{n}$=（n+1）ⁿ=${C}_{n}^{0}{n}^{n}+{C}_{n}^{1}{n}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{n}^{n-2}+…{C}_{n}^{n}$＞${C}_{n}^{0}{n}^{n}+{C}_{n}^{1}{n}^{n-1}$=2nⁿ；
構造函數(shù)f（x）=（1+$\frac{1}{x}$）^x，則f′（x）=（1+$\frac{1}{x}$）^xln（1+$\frac{1}{x}$）（-$\frac{1}{{x}^{2}}$）＜0，所以函數(shù)f（x）為減函數(shù)，又x≥1，所以f（x）≤f（1）=2＜3，所以$（\frac{n+1}{n}）^{n}$=$（1+\frac{1}{n}）^{n}$＜3，
即（n+1）ⁿ＜3nⁿ；
所以2nⁿ≤a${\;}_{n}^{n}$＜3nⁿ．

點評 本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項綜合的應用及歸納法的應用，解答（2）左邊的關鍵是二項展開式的應用，右邊是構造函數(shù)法．