【題目】已知函數(shù),

1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;

2)是否存在實數(shù),使函數(shù)的極值大于?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)存在,實數(shù)的取值范圍為

【解析】

1)求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間,為此必須對分類討論,先分類,時,按分類,在時按分類,時,兩根是負(fù)數(shù),不在定義域內(nèi),而時,的兩根一正一負(fù),易得結(jié)論;

2)由(1)只有時,在一個極大值點,因此題意要求,,其中滿足,即,這樣有.于是令,討論的單調(diào)性得,所以等價于,解不等式可得結(jié)論。

1)由題可得,函數(shù)的定義域為

①當(dāng)時,,所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時,令,即,即,

當(dāng),即時,,

,所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

當(dāng),即時,方程的兩個實根分別為,

,則,,

此時,所以函數(shù)上單調(diào)遞增;

,則,,

此時當(dāng)時,,當(dāng)時,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

2)由(1)可得,當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,故函數(shù)無極值;

當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

此時函數(shù)有極大值,極大值為,其中

,所以,即,所以

,則,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

,所以當(dāng)時,,所以等價于

即當(dāng)時,,即,

顯然當(dāng)時,,所以,即,解得,

故存在滿足條件的實數(shù),使函數(shù)的極值大于,此時實數(shù)的取值范圍為

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(Ⅱ)如果物理和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有4人,是否有99.9%的把握認(rèn)為物理特別優(yōu)秀的學(xué)生,數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀?

附:①若,則

②表及公式:

0.50

0.40

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

6.635

7.879

10.828

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