Question

10．已知過點A（-4，0）作動直線m與拋物線G：x²=2py（p＞0）相交于B、C兩點．
（1）當直線的斜率是$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AB}$，求拋物線G的方程；
（2）設B、C的中點是M，利用（1）中所求拋物線，試求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當直線m的斜率為$\frac{1}{2}$時，其方程為x=2y-4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得2y²-（8+p）y+8=0，由此利用根的判別式、韋達定理能，結(jié)合已知條件能求出拋物線G的方程．
（2）設直線m的方程為y=k（x+4），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-16k=0，由此利用韋達定理、根的判別式，結(jié)合已知條件能求出點M的軌跡方程．

解答 解：（1）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＞0，
由題意知當直線m的斜率為$\frac{1}{2}$時，其方程為y=$\frac{1}{2}$（x+4），即x=2y-4，
又∵$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AB}$，∴y₂=4y₁，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去x，得2y²-（8+p）y+8=0，
∴△=（8+p）²-64=p²+16p＞0，且y₁+y₂=$\frac{8+p}{2}$，y₁y₂=4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=4{y}_{1}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8+p}{2}}\end{array}\right.$，解得p=2，
∴拋物線G的方程為x²=4y．
（2）當直線m垂直于x軸時，其與拋物線只有一個公共點，不符合題意，
∴直線m的方程可以設為y=k（x+4），
設B，C中點M（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，得x²=4k（x+4），
即x²-4kx-16k=0，
由△=16k²+64k＞0，解得k＞0，或k＜-4，且x₁+x₂=4k，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+8）=4k²+8k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=2{k}^{2}+4k}\end{array}\right.$，消去k，得點M的軌跡方程：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$，
∵k＞0，或k＜-4，∴x＞0或x＜-8．
∴點M的軌跡方程為：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$（x＞0或x＜-8）．

點評 本題考查拋物方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、拋物線性質(zhì)的合理運用．