Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+1，其中m∈R，g（x）=

3

8

x²-x+1+f（x）．
（1）若f（x）≤0在f（x）的定義域內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

 

；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)m取最小值時(shí)，g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點(diǎn)，則n的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若f（x）≤0在f（x）的定義域內(nèi)恒成立，等價(jià)為求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若f（x）≤0在f（x）的定義域內(nèi)恒成立，
即lnx-mx+1≤0，即m≥

1+lnx

x

，
設(shè)m（x）=

1+lnx

x

，則m′（x）=

-lnx

x2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，m′（x）=

-lnx

x2

＜0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m′（x）=

-lnx

x2

＞0，
則當(dāng)x=1時(shí)，m（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值m（1）=1
∴m≥1．
（2）由（1）知m=1，
則g（x）=

3

8

x²-x+1+f（x）=

3

8

x²-2x+2+lnx，（x＞0）．
∴g′（x）=

(3x-2)(x-2)

4x

，
故g（x）在（0，

2

3

]，[2，+∞）上遞增，在（

2

3

，2）上遞減．
所以在[

2

3

，+∞）上g（x）的最小值為g（2），
而g（2）=ln2-

1

2

＞0，故g（x）在[

2

3

，+∞）上沒有零點(diǎn)．
所以g（x）的零點(diǎn)一定在遞增區(qū)間（0，

2

3

）上，從而有eⁿ＜

2

3

且g（eⁿ）≤0．
又g（e^-1）=

3+8(e2-2e)

8e2

＞0，g（e^-2）=

3-16e2

8e4

＜0，
當(dāng)n≤-2時(shí)均有g(shù)（x）＜0，即n的最大值為-2．
故答案為：m≥1，-2

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)恒成立的求解，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．