Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，1），動點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動，動點(diǎn)C在直線y=x上，那么△ABC的周長的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：利用對稱知識求出B關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離說明最小值的位置，求解即可．

解答： 解：按題意畫圖，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)（m，0），B點(diǎn)關(guān)于y=x直線的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)就為（0，m），P與A連接，與y=x線上的交點(diǎn)為C，得到△ABC，∵P點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于y=x直線的對稱點(diǎn)，∴CB=PC，即PA=PC+AC=AC+BC，即得到了△ABC的AB+BC=PC為最�。�當(dāng)PA⊥BC時(shí)B點(diǎn)到PA直線的距離為最短，此時(shí)△ABC的周長最�。甈A⊥BC，兩條直線的鈄率的乘積=-1，即

1-0

2-m

•

m-1

0-2

=-1
求出m=

5

3

，PA=

22+( 5 3 -1)2

=

2 10

3

．
AB=

(2- 5 3 )2+(1-0)2

=

10

3

，得到△ABC的周長的最小值為：

2 10

3

+

10

3

=

10

．
故答案為：

10

．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)、直線關(guān)于直線對稱知識的應(yīng)用，三角形的周長的最小值，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．