求正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比.

      

解析:方法一:如圖所示,設(shè)四面體的棱長為a,球心為O,OA=R為外接圓的半徑,OO1=r為內(nèi)切圓的半徑,MBC的中點,顯然O1是底面BCD的中心,AO1⊥底面BCD,過OONAM于點N.?

       ∵BCDM,BCAM,∴BCADM.又∵ON平面ADM,∴BCON,ON⊥平面ABC,即ON=r.?

       在Rt△AON中,sinMAO=.?

       在Rt△AO1M中,sinMAO=,?

       即內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3.?

       方法二:如圖所示,在Rt△AO1M中,?

       AO1=,?

       ∴VABCD=×SBCD×AO1=× a2×a=.??

       又∵V ABCD=V OABC+VOABD+VOACD+VOBCD=rS,?

       r=,?

       ∴R=AO1-r=,即Rr=3∶1.

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